实验目录
沿着教材逐章探索，或从一个感兴趣的问题开始。
学习路线 · 6 条按顺序学习一组实验
路线 1 6 个实验第一次做数学实验
不先背完基础知识。用几何、画图和参数扫描建立手感，遇到概念再补。
路线 2 8 个实验从一个最优值到可执行决策
先单变量，再多变量约束，再加入整数、时间与风险。
路线 3 9 个实验变化、反馈与稳定
连接微分方程、差分方程、数值求解和随机传播。
路线 4 8 个实验让不确定性进入模型
从概率与模拟走向统计估计，始终保留验证和误差尺度。
路线 5 7 个实验评价、排序与公平
把权重、数据结构、策略互动与公平公理连起来。
路线 6 6 个实验从观测反推机制
拟合不只是画出一条曲线；检验可识别性、噪声和外推。
先包一个饺子：从尺寸实验发现尺度律
先预测，再用不同尺寸的简化“球形饺子”发现面积与体积的增长速度。
路障之间要隔多远：从轨迹到曲率约束
把避障轨迹写成曲线，观察间距如何改变方向与转弯负担。
转一转椅子：在不平地面上寻找平衡
用连续地形和四个脚点演示符号变化怎样变成求根算法。
双层玻璃：画出看不见的热阻
将玻璃、空气与表面换热串联，计算热流并检查量纲。
从划艇到举重：比较之前先选尺度
用功率平衡推导速度尺度，再观察不同体重校正怎样改变排名。
实物交换：交易能让双方都变好吗
在守恒约束内搜索互利交易，并比较不同谈判权重的结果。
刹车距离与车流：开得越快通过越多吗
把反应距离、制动距离和车长相加，找出理想化车流量的峰值。
两次街头观察：估计看不见的出租车总数
用重复抽样模拟捕获再捕获，观察小样本、偏差与置信区间。
竞争还是稳定：从反馈矩阵看军备竞赛
只研究抽象支出变量，比较相互刺激与内部抑制形成的稳定性。
不能直着走：帆船迎风与渡河的向量实验
先分解速度向量，再比较最短时间、最短路线与最佳迎风进度。
补货与采购：总成本才是优化对象
把订货费、持有费和采购价放在同一尺度上，比较连续最优与阶梯折扣。
森林救火：响应速度与资源成本的取舍
用一个透明的损失函数搜索资源投入，比较连续解与可执行整数解。
倾倒的杯子：用截面积分计算剩余体积
从圆形杯底切片，数值积分杯子倾斜后还能装下的水。
投掷与罚球：45度为什么不是万能答案
比较有出手高度的射程最优角与命中篮筐的角度窗口。
血管为什么分叉：流动阻力与材料的平衡
用耗散与维护成本推导最优半径，再检验立方分支关系。
影院坐哪排：视角与仰角不能只选一个
把屏幕张角作为目标，把舒适仰角作为约束，比较两种最优位置。
一只易拉罐：先优化材料，再加入制造现实
固定容积，比较等价表面积最优与上下盖材料更贵时的设计。
把资源变成可验证的生产计划
从奶制品资源分配到原油配比，观察最优解如何随资源约束跳变。
运输、配载与网络最短路
把供需平衡写成矩阵约束，再比较图上的路线成本与系统总运输成本。
选接力队与选课：一对一和背包
用指派算法安排泳姿，用动态规划挑选时间预算内的课程。
生产与检修：把未来写进决策
对设备老化进行有限期动态规划，比较总不检修与最优检修政策。
切割原料：整数规划减少余料
枚举可行下料模式并用混合整数规划满足三种规格订单。
广告、调薪与目标之间的取舍
比较有边际递减的广告预算优化与带公平目标的工资分配。
风险与收益：画出可行边界
用合成收益和协方差画最小方差组合边界，检查分散化条件。
人口会永远指数增长吗？
用指数与 Logistic 模型做对照实验，从曲线中理解增长率、承载量和稳定点。
清除、过滤与停留时间
从单室清除和沿程吸附两种实验中识别同一个指数衰减结构。
怎样捕鱼才不会把鱼捕光？
对比固定捕捞量与比例捕捞，寻找稳态并检验短期收益与长期存量的冲突。
一场传播会在什么时候转弯？
调整接触率，观察 SIR 峰值、免疫比例与总量守恒。
变质量运动：从纸面力学到数值轨迹
用一个虚构的竖直教学火箭检验推力、质量变化、重力与阻力的影响。
捕食者多了，食饵一定持续减少吗？
用相图与守恒量检验 Lotka–Volterra 模型，区分闭轨与渐近稳定。
跑步时先冲刺还是匀速？
把有限体能写成约束，用离散控制优化比较不同配速。
隔热服为什么不能只比较材料导热率？
离散热方程，比较单层与多层介质的瞬态温度和稳态热阻。
每月还款是怎样消除本金的？
逐月递推贷款余额，把利息、本金和提前还款拆开观察。
为什么固定少吃并不对应无限减重？
用能量收支的差分方程比较恒定消耗假设与反馈假设。
价格波动会收敛还是越荡越远？
让供给滞后一期，观察同一个市场如何从稳定变成发散。
预测为何必须按时间留出未来？
在合成季节序列上比较季节基线与带趋势的回归，防止信息泄漏。
平均出生率相同，年龄结构还重要吗？
用 Leslie 矩阵模拟分年龄种群，并从特征向量读出长期结构。
小样本预测：灰色模型能知道多少？
亲手实现 GM(1,1)，把累加、参数估计与还原拆开检查，并在留出期验证。
信息传播为什么会受网络结构限制？
比较全局混合的递推模型与局部相邻传播，观察同一接触概率的不同结果。
从量纲到相似性：扩散长度的幂律
用无量纲的染料扩散实验学习尺度分析和幂律拟合，不复现武器能量计算。
评分矩阵怎样产生一个排名？
用成对比值恢复潜在评分，加入矛盾后比较几何均值与主特征向量。
把投影重新拼成图像：一个微型 CT
用低维线性逆问题重建合成图像，直观看到不适定性和正则化偏差。
选车：权重、AHP与模糊评价
从成对比较到权重与一致性检查，再观察排名翻转。
晋升与厂房投资：随机转移和决策树
用马氏转移预测人员结构，用期望收益比较投资方案。
席位、投票与价格指数的悖论
计算Hamilton席位分配、Condorcet循环与两种价格指数。
小微信贷：评分不是决策的终点
用合成违约率和额度约束选择贷款组合，观察收益与风险预算的冲突。
传送、余料和随机波动
用蒙特卡洛模拟串并联系统可靠性和切割误差产生的浪费。
报童与机票：缺货和超售的同一结构
用离散期望利润求报纸订量与航空超售量，量化缺货、滞销和拒载。
随机化回答：隐私与估计精度
用随机回应机制隐藏个人答案，同时估计群体比例与置信区间。
博彩与遗传：吸收状态
比较公平随机游走破产与有限群体中等位基因固定的模拟。
网页与球队：让排名流动起来
从有向网络构造带随机跳转的PageRank，检查收敛与悬挂节点。
车床与服务台：等待为什么突然增长
用离散事件模拟单服务台队列，与M/M/1公式交叉验证。
相关、混杂与组间比较
用合成出生体重数据比较朴素回归和控制混杂后的估计，再校正评委偏差。
薪金、投资与共线性
用训练测试划分比较OLS、岭回归和PLS，在相关特征下检验外推。
酶促反应：插值、拟合与残差
比较Michaelis–Menten参数拟合与形状保持插值，观察外推的风险。
风险与分类：概率、边界和过拟合
用合成健康/形态特征比较逻辑回归与神经网络，保留独立测试集。
考试与葡萄酒：降维、聚类、方差分析
用PCA提取共同变化、聚类发现样本结构，再比较组间评价差异。
点球大战：混合策略不是犹豫
用线性规划求零和博弈，检验双方都不能通过单边改变提高收益。
拥堵与定价：个体理性如何相互作用
比较道路使用者均衡与社会最优，再计算差异化商品的价格最佳回应。
公平、合作与权力的不同度量
枚举联盟计算Shapley价值和Banzhaf权力，模拟不公平厌恶改变接受选择。
综合项目
综合项目把一条完整建模链交给你。先完成关联实验，再带着自己的数据、假设和判断完成开放任务。
PROJECT 01 5 个关联实验经营一辆校园咖啡车
项目任务
- 用公开或自采、无个人信息的逐小时需求数据，先保留最后20%作时间测试集。
- 预测需求并加入预测误差；用缺货与滞销成本选择备货量。
- 把原料、设备和人力限制写进生产规划，检查每项约束。
- 模拟高峰队列，比较多一台机器与多一位服务员的成本和等待。
- 提交可复现笔记、模型假设表、至少两种情景及一个失败案例。
从这些实验开始
PROJECT 02 5 个关联实验增长是否可持续
项目任务
- 为同一个抽象资源系统分别建立连续、离散和年龄结构模型。
- 在相同初始资源与收益目标下比较策略，寻找模型给出不同结论的参数区间。
- 加入参数不确定性，报告收益区间而非一个最优数。
- 写清推荐策略在哪些假设被破坏后不再适用。
从这些实验开始
PROJECT 03 5 个关联实验设计一套说得清的综合评价
项目任务
- 选一个不涉及个人敏感信息的评价对象，明确指标方向与单位。
- 比较AHP权重、PCA与简单等权评分，并解释三者分别在优化什么。
- 扫描权重、缺失值处理和样本组成，量化排名翻转。
- 提出至少两条公平要求，并用小例子检查它们是否冲突。
- 提交排名结果、敏感性图和一页不确定性说明。
从这些实验开始
教材章节对照
覆盖《数学模型（第六版）》10章84节的原创配套实验，并映射算法PDF30章。覆盖类型按节标明；并非逐题复现教材原文、训练题和配套数据。
第 1 章 · 建立数学模型8 个小节
第 2 章 · 初等模型9 个小节
第 3 章 · 简单的优化模型9 个小节
第 4 章 · 数学规划模型8 个小节
第 5 章 · 微分方程模型10 个小节
第 6 章 · 差分方程与代数方程模型9 个小节
第 7 章 · 离散模型7 个小节
第 8 章 · 概率模型9 个小节
第 9 章 · 统计模型9 个小节
第 10 章 · 博弈模型6 个小节
书目与目录已按高等教育出版社产品页 ↗核对。这里只提供原创配套实验，并非教材原题、训练题及配套数据的逐题复现。